在本周的学习中，我们对拓扑学有了基本的认知，在课上，老师通过一个经典的戈尼斯堡七桥问题，通过一笔画引入了拓扑学的两个基本概念，即拓扑不变性与拓扑不变量，随后，老师巧妙地带入了育部命题《2025年高考综合改革适应性演练数学（新八省联考）》第11题绳结问题，以一个实际的数学问题来进一步加深对拓扑学的了解。在课上粗略的思考中，我对这道号称难道无数天才少年的选择题压轴题一筹莫展，于是课下，我在网络上试图找寻这一问题的解法，意外地发现了绳结问题其实是拓扑学中一个十分经典的问题，在本题中，我们需要判断四个选项中的绳结哪个可以无损转化为图示的形状。在拓扑学中，我们需要使用拓扑等价性来量化这一指标，通过这一概念来判断能转化的选项。

  拓扑等价性，又称同胚，是拓扑学中的核心概念。在研究几何图形时，若两个图形能通过连续变形（包括拉伸、扭曲、弯曲，但不能切割和粘合）从一个变成另一个，就称它们拓扑等价。以绳结为例，判断绳结是否拓扑等价，关键看能否在不剪断和重接绳子的情况下相互转换。如两个三叶结，无论形状看起来有何差异，只要能通过连续变形相互转变，就是拓扑等价的；而无结的圆环和三叶结，由于结构差异，无法通过连续变形转换，就不具有拓扑等价性。拓扑等价性关注的是图形在连续变化下保持不变的本质特征，不考虑长度、角度等度量性质，为研究复杂几何对象的共性和分类提供了有力工具，在数学、物理、生物等多领域都有广泛应用 。

  以本题为例，通过查阅资料，绳结在同痕变化过程中共有四个常见的拓扑不变量交叉数、环绕数、绳结多项式以及亏格，如下简单对其做一个解释。

交叉数

定义：交叉数是指在绳结的平面投影图中，绳子交叉点的数量。在计算交叉数时，需要注意每个交叉点只计算一次，且不考虑交叉的上下关系。

示例：如最简单的三叶结，其平面投影图有 3 个交叉点，所以三叶结的交叉数为 3。交叉数是绳结的一个基本拓扑不变量，不同交叉数的绳结在拓扑上是不同的。

环绕数

定义：对于两个相互环绕的绳结或绳圈，环绕数是描述它们相互环绕程度的一个整数。它通过计算两个绳结在平面投影图中相互交叉的正负次数来确定。

示例：若有两个绳圈 A 和 B，当从绳圈 A 的上方穿过绳圈 B 时记为 + 1，从下方穿过时记为 - 1，将所有交叉情况的数值相加，得到的结果就是这两个绳圈的环绕数。环绕数在判断两个绳结是否相互纠缠以及纠缠的程度方面具有重要意义。

绳结多项式

定义：绳结多项式是一种用多项式来表示绳结拓扑性质的工具，常见的有亚历山大多项式、琼斯多项式等。这些多项式是通过对绳结的投影图进行特定的计算和操作得到的。

示例：以亚历山大多项式为例，对于一个给定的绳结，通过对其投影图进行一些列操作，如计算链群、边界同态等，最终可以得到一个关于变量 t 的多项式。不同的绳结通常具有不同的亚历山大多项式，因此可以用它来区分不同的绳结。

亏格

定义：绳结的亏格可以理解为将绳结嵌入到一个具有最小亏格的曲面（如环面等）上时，该曲面的亏格。直观地说，亏格表示了曲面 “洞” 的数量。

示例：平凡结的亏格为 0，因为它可以嵌入到一个没有 “洞” 的平面上。而一些更复杂的绳结，如三叶结，其亏格为 1，这意味着它需要嵌入到一个具有一个 “洞” 的环面上才能以一种合适的方式展现其拓扑结构。

  在本题中，观察题目的四个选项，容易看出的是，A选项没有交叉点，D选项是三个圆环套起来，不是一根线，因此AD可以直接选择，对于选项BC，我们试着对其进行拓扑不变量的分析。

选项B与选项C均为链环结构，他们是手性对称的，因此，我们对原问题的绳结进行右手准则分析，当大拇指朝上时，原问题的绳各交叉点的关系为下——上——下，接着我们分析BC选项的右手准则，发现选项为上——下——上，而选项C为下——上——下，因此选项C是可以无损转化为原问题的绳结的。而事实上，选项C只需要将上方的圆向纸张外方向翻折180°，翻折到左下方即可得到题干的绳结，而选项B无论如何翻折，都是难以得到原题干的绳结形式的。

综上所述，本题应该选择ABD。

绳结问题中不断出现的新挑战和新问题，促使拓扑学家不断发展新的理论和方法。例如，为了更好地研究绳结的分类和不变量，拓扑学家发展了诸如琼斯多项式、霍万诺夫同调等重要的理论和工具，这些成果不仅在绳结理论中发挥了重要作用，也为拓扑学的其他领域带来了新的思路和方法。随着拓扑学理论和方法的不断完善，绳结问题的研究也取得了巨大的进展。越来越多的绳结性质被揭示，绳结的分类也越来越精细和完善。拓扑学的发展使得我们能够更深入地理解绳结的本质，解决许多以前难以解决的绳结问题。