关系、等价关系以及等价类的特性

关系的特性：

关系常指二元关系，是在集合的基础上定义的一个重要的概念，它主要反映元素之间的联系和性质。一般认为有五种特殊的性质，分别为自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性。这五种特殊性质有一定的运算封闭性：自反、反自反、对称性对并运算封闭；反自反、对称、反对称对差运算封闭；对称性对补运算封闭；而这五个特性对求逆运算均封闭；自反对合成运算封闭，其它性质对合成运算均不封闭。

等价关系的特性：

等价关系是一种特殊的关系，即符合自反性、对称性和传递性的关系。等价关系中最本质的是自身和自身天然的保持这种关系。自身和自身的关系具有等价性，是其他对象等价关系的灵感来源和思维源泉。对称性，体现了等价关系的另一个侧面，体现了等价关系的特征。而传递性，是等价关系可应用性的基础。它的存在使得等价关系成为了一个可以广泛存在的性质，而不是孤立事件的孤立特质。除恒等关系和模p关系外，还有其它的等价关系，如现实生活中，两个地点的可达关系，同样满足自反性、对称性和传递性。

等价关系，不只可以说明等于，它其实是事物之间存在同一性，一致性的反应。它使得用有限的，抽象的逻辑方法，理解无穷的、纷繁复杂的具体事物成为可能。是人们对于世间万物产生理性思考之后，所产生的第一个具有超越性意义的逻辑关系。其实就是发现了事物a和事物b具有一致性。而这种一致性，是可以重现的(自反性)，是便捷而符合直觉的（对称性)，以及可推广的、具有应用价值的(传递性)。

等价类的特性：

等价类是基于等价关系而言的，设R是定义在集合A上的等价关系，与A中一个元素a有关系的所有元素的集合叫做a的等价类。由等价关系自反性，可知任一等价类一定是非空集合。因为基于同一个等价关系而言的不同等价类，要么不相交要么相等，所以 X 的所有等价类的集合形成 X 的集合划分，反过来，X 的所有划分也定义了在 X 上的等价关系。