1、关系、等价关系、等价类概念的区别，以及它们的联系；

关系、等价关系和等价类是集合论中的三个相互关联的概念，它们之间既有区别又有联系。具体分析如下：

关系：在数学中，关系是指两个元素之间的某种特定联系。如果给定两个集合A和B，那么它们之间的关系可以表示为A×B的一个子集。关系可以用于描述集合内或集合间元素的各种连接方式。

等价关系：等价关系是满足自反性、对称性和传递性的特殊关系。自反性意味着每个元素都与自己相关；对称性指的是如果一个元素a与另一个元素b有某种关系，那么b与a也有同样的关系；传递性则表明如果a与b有关系，且b与c有关系，那么a与c也必须有关系。等价关系的一个重要应用是它能够将集合划分为互不相交的等价类。

等价类：在一个集合上定义了等价关系后，可以将这个集合分成互不相交的子集，每个子集中的元素彼此等价，这样的子集称为等价类。等价类的性质包括：每个元素恰好属于一个等价类，并且等价类之间没有公共元素。

关系、等价关系和等价类的联系在于，等价关系是对一般关系的特化，它满足更严格的条件；而等价类则是在等价关系基础上对集合的一种划分方式。三者共同构成了集合结构研究的基础，并在数学的许多分支中发挥着重要作用。

2、关系、等价关系、等价类有哪些应用价值；

等价关系和等价类在数学中有着广泛的应用价值，主要体现在以下几个方面：

数学结构的研究：在代数学中，等价关系用于定义和研究各种数学结构，如同余关系在群论中的应用，可以帮助我们理解整数或其他代数结构的性质。例如，通过模运算定义的同余关系可以将整数集划分为等价类，这对于数论中的许多问题都是基础性的工具。

集合的分类：等价关系可以用来对集合进行分类，将具有相同特性的元素归为一类。这种分类方法在数据处理和信息论中尤为重要，如利用等价关系对数据进行聚类分析，可以帮助我们发现数据间的内在联系和结构。

代数系统的研究：在抽象代数中，等价关系和等价类的概念被用来构建和研究各种代数系统，如环、域、向量空间等。这些系统的研究往往依赖于等价关系来定义元素之间的关系，从而推导出系统的基本性质。

逻辑和证明：在逻辑学中，等价关系有助于简化逻辑表达式和证明过程。通过确定某些表达式或命题是否等价，可以更容易地进行逻辑推理和证明。

计算机科学：在计算机科学中，等价类的概念被用于数据库的规范化理论，以确保数据的一致性和减少冗余。此外，等价关系也用于编程语言的类型系统中，以帮助程序员理解和处理复杂的数据类型。

组合数学：在组合数学中，等价关系和等价类用于解决计数问题，如排列组合问题中的不同情况的分类和计数。

总的来说，等价关系和等价类的概念在数学的多个分支中都有广泛的应用，它们提供了一种强有力的工具来研究集合的结构，解决分类和划分问题，以及在逻辑和计算机科学等领域中的应用。

3、除书上的例子外，多举一些等价关系的例子。

设A = {1, 4, 7}，定义A上的关系R如下：

R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }其中a ≡ b mod 3叫做 a 与 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余数与 b 除以 3 的余数相等。

设 f 是从 A 到 B 的一个函数，定义 A 上的关系 R ：aRb，当且仅当f(a) = f(b)，R 是 A 上的等价关系。

R=｛(x,y)∈R2|x-y∈Z｝