拓扑空间连续映射的等价定义方式

一、由度量空间之间的连续映射推广而来

在课本中，拓扑空间之间的连续映射定义如下（记为定义1）：设和是两个拓扑空间，。如果中每一个开集的原像是中的一个开集，则称是从到的一个连续映射，或简称映射连续。

定义1是由度量空间之间的连续映射的概念推广而来的，且保证了：当和是两个度量空间，如果是从度量空间到度量空间的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间到拓扑空间的一个连续映射，反之亦然（涉及的拓扑都是指诱导拓扑）。

二、与闭集等有关的定义

定义2：设和是两个拓扑空间，。如果中每一个闭集的原像是中的一个闭集，则称是从到的一个连续映射，或简称映射连续。

定义3：设和是两个拓扑空间，。对于中任何一个子集，的闭包的像包含于的像的闭包，即。

定义4：设和是两个拓扑空间，。对于中任何一个子集，的闭包的原像包含的原像的闭包，即。

下文给出互推关系。定义1蕴含定义2：假设为中的开集，则为中的闭集，，由于为中的开集，因此为中的闭集。定义2蕴含定义3：设，，由于是中的一个闭集，因此是中的一个闭集，得到。定义3蕴含定义4：设，对于集合应用定义3即得，因此。定义4蕴含定义1：设是中的一个开集，则是中的一个闭集。由定义4可得。显然，故，这说明是中的一个闭集，所以是中的一个开集。因此这四个定义是等价的。

三、与内部有关的定义

定义5：设和是两个拓扑空间，。对于的任何一个子集，的内部的原象包含于的原象的内部，即。

 定义4与定义5可互推：对于中任何一个子集，，由于，因此。因此定义4、5等价。

四、与基、子基有关的定义

定义6：设和是两个拓扑空间，。拓扑空间有一个基，使得对于任何一个，原像是的一个开集。

定义7：设和是两个拓扑空间，。有一个子基，使得对于任何一个，原像是的一个开集。

定义1蕴含定义7是显然的，因为的拓扑本身便是的一个子基。定义7蕴含定义6：设是的拓扑的一个子基且满足定义7中的要求，根据定义，

是的拓扑的一个基。对于任何，其中，我们有

它是中个开集之交，因此是中的一个开集。定义6蕴含定义1：设是的拓扑的一个基，它满足定义6中的要求，如果是中的一个开集，则存在使得，于是

是中一族开集之并，所以是中的一个开集。因此定义1、6、7等价。

五、与邻域基等有关的定义

定义8：设和是两个拓扑空间，，。有一个邻域基，使得对于任何，原像是的一个邻域。

定义9：设和是两个拓扑空间，，。有一个邻域子基，使得对于任何，原像是的一个邻域。

定义1蕴含定义9是显然的，因为点的邻域系本身便是的邻域子基。定义9蕴含定义8：设是的一个邻域子基，它满足定义9中的要求，根据邻域子基的定义，集族

是的一个邻域基，对于任何，其中，我们有

它是的个邻域的交，因此是的一个邻域。定义8蕴含定义1：设是的一个邻域基，它满足定义8中的要求。如果是的一个邻域，则存在使得。因此，而是的一个邻域，所以也是的一个邻域。因此定义1、8、9等价。

六、学习感想

    拓扑学中概念很多而且很繁杂，只有透彻理解了概念的性质，并结合具体的例题加深印象，才能更好地学习后续的知识。