开闭集，内部与边界之间的关系

要讨论开闭集，内部与边界之间的关系，那么首先我们要了解它们的定义，与我们之前在实变函数或者数学分析里学到的概念定义有何不同。

比如说开集，它是拓扑学里最基本的概念之一。设A是度量空间X的一个子集。如果A中的每一个点都有一个以该点为中心的邻域包含于A，则称A是度量空间X中的一个开集。而闭集的就是开集的补集。那么由开集的定义我们可以知道任何集合都是有一个个点组成的。

因此我们整合概念后得到了点”与“集合”的关系：聚点、孤立点、边界点和内点，产生了

一些新的集合：导集、闭包、边界和内部。因此开闭集，内部与边界之间的关系在微观上是拓扑空间内部的点与点之间的关系。

   下面是我个人整理知识点的一些小结：

1. 点与集合的关系

1.1内点、外点、界点

假设点，集合，那么点与集合的关系是

(1)点附近全是集合E的点

(2) 点附近没有集合E的点

(3) 点附近既有集合E的点，又有不属于集合E的点

这三种关系分别对应着内点，外点，界点的定义

(1)  内点:存在点的某个邻域，使得，

即存在r>0，使得，内点在集合E中

(2) 外点：如果 是E的余集的内点

即：使得外点。

(3) 界点

既非内点，又非外点（任一邻域中既有属于E的点，也有不属于E的点）

即：使得，界点可能在E中也可能不在。

从而我们可以定义出

E的内部，全体内点构成的集合

E的外部，全体外点构成的集合

： E的边界，全体界点构成的集合
1.2.聚点，孤立点，外点

假设点，集合，研究点集之间的逼近性质时，内点和界点可能具有相同的性质，若存在E中互异的点列，使，那么既有可能是内点也有可能是界点。

点和集合的关系还可以描述为：聚点，孤立点，外点。

1.3 两种分类方法之间的一些联系

(1) 内点必然是聚点，必然在中

(2) 聚点未必是内点 —— 聚点可能是内点，也可能是界点

(3) 孤立点必然是界点，必然在中

(4) 界点未必是孤立点 —— 界点可能是聚点，也可能是孤立点

(5) 界点、聚点可以在中，也可以不在中

2. 闭包

在以上两种分类方法中，由相同的外点的定义  我们会考虑外点的反面，

接下来我们便能得到内部、边界、导集、闭包的定义

  内部全体内点的集合

  边界：全体界点的集合

  导集全体聚点的集合

  闭包全体附着点的集合，即

即：

若，则E为开集，即所有界点不在E中。

若，则E为闭集，即所有的聚点都在E中，或者说E中包含了所有界点。