研讨
一、开集
设
是一个集合,
是的一个子集族,适合
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
是开集.
则称是的上的一个拓扑,称
为一个拓扑空间,而中的每个元素叫做拓扑空间中的开集.
二、导集
（1） 
的凝聚点（极限点,limit point）,如果 
的任何领域都有
中异于的点.
（2） 导集（derived set）
的凝聚点全体.
（3） 孤立点（isolated point）
中非凝聚点.
（4） 离散空间中集合的凝聚点与导集:
.
（5） 平庸空间中集合的凝聚点与导集
（6） 
（7） 
单调集
（8） 
（9） 
三、闭集
（1） 
是闭集（dosed set）
并记
{闭集}.
（2） 闭集与开集的对偶关系:是闭集
是开集,而
（3） 
（4） 
（5） 
（6） 
是包含
的最小闭集:
四、闭包
（1）
的闭包（closure）
而
（2）的闭集
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
是包含
的最小闭集:
五、内部
（1） 
的内点（interior point）
的一个领域（
）
（2） 内部（interior）
的内点
而
（3） 
（
的内部是包含于的最大开集）
（4） 
（5） 
（与闭包性质互为对偶）.
六、边界
（1） 
的边界点（boundary point）
（2） 
的边界（boundary）
而
（3） 
（4） 
（5） 
七、基与子基
（1） 基（basis）:设
为一拓扑空间,若
适合
（任何开集写成
中某些元的并）则称为该拓扑空间的一个基（basis）.
（2）子基（subbasis）:拓扑空间
中,若
适合
花
有限交为
的一个基,则称
为的一个子集.
八、邻域基和邻域子基
（1）邻域基（neighborhood basis）:点
处的一个邻域基
是指
（2）邻域子基（neighborhood subbasis）:点处的一个邻域基
是指
为的一个邻域基.
（3）邻域基、邻域子基与基、子基的关系:
1.
的一个基
处的一个邻域基.
2.
的一个基
处的一个邻域子基.
拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域，并且有了日益重要的应用，因此学习拓扑学的基本知识，不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识，而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容，加深对这些内容的认识和理解。由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的，因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系，从而起到事半功倍的效果。
区别线性结构与同构映射，线性结构和拓扑结构是空间的两大结构。分清两者的关系和区别对于初学者来说并不是很容易的一件事情，所以要去理解拓扑空间及其连续映射的相关概念。
我们经常用到的实数空间R它既可以看作一个线性空间，它的线性结构就是我们通常定义的加法和数乘运算，也可以看作一个拓扑空间，它的拓扑就是实轴上的所有开集所构成的开集族，它满足拓扑的三条性质，实质它是一个特殊的拓扑线性空间。
又如我们定义集合X={1,2,3}，定义拓扑T1={
，X}，它是我们平常所说的平庸拓扑，拓扑中开集是空集与它本身，这是最小拓扑，如果定义拓扑T2={
，X，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}}，则它满足拓扑的三条性质，因此（X, T2）是拓扑空间。而如果我们定义开集族为T3={
，X， {1，2}，{1，3}，{2，3}},则它不是一个拓扑，因为存在两个开集的交集不属于这个开集族。
而对于拓扑空间来讲，如果存在一个一一映射，且此映射与它的逆映射都是连续的，则称为同胚映射。如果两个拓扑空间存在着同胚映射，则这两个空间就是同胚的，同胚的两个空间具有相同的拓扑结构。因此，理解两者的区别有助于我们更好的学习拓扑空间的有关理论。拓扑学讲的就是在这个同胚映射下的拓扑不变量，如连通性，可数性、紧致性等。
数学分析讲述的是实数集上的拓扑学，因此它对于学习拓扑学有着不可估量的作用，因此我们在学习点集拓扑时，有必要联系数学分析的有关结论，这样使得内容不空洞乏味，并且还加深了对数学分析的理解，同时也学习了新的理论和方法。
点集拓扑学不同于数学系本科专业的其他课程，如数学分析、高等代数、微分方程等课程，几乎没有计算之类的内容，逻辑性强，内容抽象；而且基本概念是比较多的，对于初学者是比较困难的，有的时候，介绍了一些概念之后，接着是一连串的定理及冗长的证明，例子少，有的时候出现的例子也比较抽象，因此有必要把基本概念和以前学过的基本概念和实例相联系区别。这样就有利于激发学习兴趣，也有助于对基本概念方法和原理的理解，使得基本的概念不显得空洞，有声有色。