授课

章节

第4章  连通性 §4.2连通性的某些简单应用 §4.3 连通分支

授课方式

课堂讲授

理论课

授课学时

2

授课教师

　薛琼

教学目的

1、了解连通性的某些简单应用，如介值定理、不动点定理和Borsuk-Ulam定理等；

2、熟悉如何利用连通性判断空间的同胚性；

3、掌握连通分支的概念和性质；

项目

内容

解决措施

教学重点

1、利用连通性的性质判断空间的连通性以及空间之间的同胚性等；

2、连通分支的概念和性质

详细推导和例题练习使学生熟练掌握基本概念和性质；

教学难点

1、连通分支

通过例子和练习使学生熟悉、掌握

教学设计

§4.2主要介绍连通性的几个简单应用，其核心是利用连通性是在连续映射下保持不变的性质。通过考察实数空间中连通子集，引出映入实数空间中的连续映射的性质，进而推出介值定理和不动点定理，并介绍不动点定理的高维版本：Brouwer不动点定理。然后引入对径点和对径映射的概念，并引出Borsuk-Ulam定理及其高维版本。最后介绍利用连通性判断空间的连通性以及两个空间不同胚的例子。

§4.3主要介绍连通分支的概念和性质。首先通过考察欧式空间中一些图形，引出拓扑空间中“最大”的连通子集的概念，并给出精确定义：连通分支。然后研究连通分支的性质，并举例说明连通分支可以不是开集。

教学方法

采用启发式、案例式、研究式教学方法，利用多媒体PPT课件结合课堂板书；

板书设计

§4.2连通性的某些简单应用

·连通是一个区间

·连通，是一个连续映射，则是一个区间；且；

定理证明

例子

课堂练习

板书设计

§4.3连通分支

·点连通：若中有一个连通子集同时包含和；是一个等价关系；

·连通连通；

·连通分支：对于中的点的连通关系而言的等价类；是最大的连通子集；

定理证明

例子

课堂练习

教

学

过

程

结

构

的

设

计

教学过程

教学方法及手段

1、回顾与引入（3分钟）

回顾连通空间的概念和性质，引出本次课内容。

2、启发性质疑（2分钟）

 连通性有什么应用？是否存在最大的连通子集？如何描述？

3、新课程讲解（75分钟）

§4.2  连通性的某些简单应用

说明：关于连通性的应用，其核心是利用连通性是在连续映射下保持不变的性质。我们研究映入实数空间中的连续映射的性质，首先需要考察实数空间中的连通子集。事实上，实数空间中的连通子集当且仅当它是区间。

提问：实数空间中区间的定义是什么？有几类？每一类区间的连通性如何？

通过上述研究得到如下结论：

定理4.2.1设是实数空间的一个子集，是一个连通子集当且仅当是一个区间。

利用连通性是在连续映射下保持不变的性质可得:

定理4.2.2 设是一个连通空间，是一个连续映射，则是中的一个区间。

因此，如果，则对于与之间的任何一个实数，存在使得。

说明：由该定理，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理。

定理4.2.3(介值定理)设是从闭区间到实数空间的一个连续映射，则对于与之间的任何一个实数，存在使得。

定理4.2.4（不动点定理）设是一个连续映射，则存在使得。

说明：该结论有高维版本。

定理4.2.8（Brouwer不动点定理）设是一个连续映射，其中是维闭球体，则存在使得。

研讨和启发教学-引导学生思考实数空间中连通子集的性质，进而研究映入是实数空间的连续映射的性质。

多媒体结合板书教学

教

学

过

程

结

构

的

设

计

教学过程

教学方法及手段

例：欧式空间中的单位圆周是否连通？

说明：利用连通性是在连续映射下保持不变的性质，构造一个从实数空间到单位圆周的连续满射即可。

定义使得：有

，

验证是一个从到的连续满射。

接下来引入对径点和对径映射的概念。

设，点称为点的对径点。映射使得任何有，称为对径映射。对径映射是一个连续映射。（课堂练习）

定理4.2.5(Borsuk-Ulam定理) 设是一个连续映射，则在中存在一对对径点和使得.

说明：该结论可从推广至任意中心对称区域。而且可由此推出：不能嵌入到中。该结论也有高维版本。

定理4.2.9(Borsuk-Ulam定理) 设是一个连续映射，其中，则存在使得.

定理4.2.6 维欧式空间的子集是一个连通子集。

说明：利用连通性的性质，即定理4.1.9和定理4.1.6。

事实上，欧式空间挖去可数个点后仍是连通的。

定理4.2.7欧式平面和实数空间不同胚。

说明：该结论可以利用连通性是在连续映射下保持不变的性质结合反证法以及实数空间中连通子集是区间的性质来证明。这是利用连通性判断两个空间同胚的例子。

定理4.2.10 如果，则欧式空间和不同胚。

说明：这些高维版本定理的证明需要代数拓扑的知识，如同调论或同伦论等，请参阅有关书籍，此处证明略。

§4.3 连通分支

说明：连通分支即最大的连通子集，通过对欧式平面上的一些图形的考察，使学生对拓扑空间的“最大”的连通子集有一个直观的认识，并引导学生分析如何用所学的拓扑知识来刻画“最大”的连通子集。引出点的连通概念。

定义4.3.1 设是一个拓扑空间，。如果中有一个连通子集同时包含和，则称点和是连通的。

例1：连通连通。

说明：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系。由此可以引出连通分支的概念。

例题教学

理论教学

理论教学

理论教学

例题教学

教

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过

程

结

构

的

设

计

定义4.3.2 设是一个拓扑空间。对于中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间的一个连通分支。

例2：，其上拓扑为

写出的所有连通分支。（课堂练习）

    如果是拓扑空间一个子集。作为的子空间的每一个连通分支称为的子集的一个连通分支。

说明：事实上，若，可以定义点和在子集中的连通性。但是点和在拓扑空间中是连通的并不意味着它们在子空间中是连通的。例如：在中连通，但在子空间中不连通。

根据等价类的知识可知，连通分支有如下性质：

（1）    拓扑空间的每一个连通分支都不是空集；

（2）    的不同的连通分支无交；

（3）    的所有连通分支之并是本身；

（4）    属于的同一个连通分支当且仅当和连通。

定理4.3.1 设是一个拓扑空间，是的一个连通分支，则

(1)如果是的一个连通子集，并且，则；

(2)是一个连通子集；

(3)是一个闭集。

说明：该定理的结论（1）和（2）表明：拓扑空间的每一个连通分支都是的一个最大的连通子集。

例：一般来说连通分支可以不是开集。

考察实数空间的子集有理数集中的连通分支。可知：中的连通分支都是单点集，然而单点集不是中的开集。

提问：拓扑空间是有限可积性质，那么它是不是可积性质（即：如果每一个坐标空间具有性质蕴含着积空间具有性质）呢？答案是肯定的。然而并非每一个有限可积性质都是可积性质。

定理4.3.2 任何一族连通空间的积空间都是连通空间。

4、形成性课堂练习（5分钟）

由全班同学参与，对典型题型的课堂练习进行计算，以巩固该部分概念和知识。

5、互动性讨论及下次课预告（3分钟）

连通分支的性质，并引出下次课程。

下次课预告： §4.4 局部连通空间

6、小结与课后思考题（2分钟）

小结：连通分支的概念和性质。

课后思考题：拓扑空间的既开又闭的非空连通子集是不是一个连通分支？

理论教学

例题教学

理论教学

例题教学

形成性课堂练习

互动式教学

下次课预告

小结

课后思考

课堂练习

1、对径映射是一个连续映射；

2、验证例2.

课后思考

题与习题

课后思考题：§4.2课后习题7。

习题：§4.2课后作业3，4，6；

      §4.3课后作业1，2，3，4

形

成

性

评

价

1.授课任务完成情况：

2.课堂教学反馈信息：

3.作业批改中发现的问题：

4.教学体会及改进措施：

5.其它记录：

                               授课教师签名：

                                         年    月    日

本栏目应在课后及时填写。对上述反馈信息中发现的问题，应在后续教学中及时解决，以保证教学效果最优化。

　备注