扭结理论

绳环是我们日常生活中常见的概念，例如橡皮筋、毛线等。又因为绳环的美观性，这种结构也被广泛应用于logo的制作或者作为图形的元素。而扭结理论作为研究这种结构的理论，一方面在其来源于生活与生活应用接轨，另一方面可以让我们初步体会寻找“不变量”的拓扑学的思想。

1       扭结理论的背景

扭结形在生活中被广泛应用，例如中国联通的logo，就是取自一个中国结的形状，其是一个很标准的数学中的扭结。还有一个绳环所能构成的最简单形状当然就是一个圆环，这是最简单的一种结，这种形状被称为“unknot”，中文叫“平凡结”

图1 扭结示例——中国联通logo

显然，不是所有的绳环都能最后还原成成一个圆环，所以问题就是：给定一个结的图形，怎么判定它是不是“平凡结”？或者，更一般的问题是：给定两个结，怎么判定它们其实是同一种结？

当然对简单的结我们可以目测判定，但是对很复杂形状，目测就会失效，所以数学家希望找到合适的数学方法去研究扭结。这里的一个难点是，同一个扭结，形状可以千变万化，但是需要忽略绝大多数变化，只关注我们需要的变化。所以，数学家需要寻找的是“不变量”，就是变化中的对象的某个不改变的属性。

这就是扭结理论的基本问题：怎样区分不等价的纽结(或链环)？值得注意的是，纽结理论研究的对象必须是三维空间中的曲线。在两维空间中，由于没有足够的维数，我们不可能把让一根曲线自己和自己缠绕在一起打成结；而在四维或以上的空间中，由于维数太多，无论怎么样的纽结都能够很方便地被解开成没有结的曲线。

2       扭结理论的发展

在扭结理论历史上，有两次重大的关于扭结理论的突破。第一次是1928年，美国数学瓦德尔·亚历山大提出了一个扭结不变量，称为“亚历山大多项式”。并且他证明了，如果两个结可以互相转化，那么它们的这个特征多项式就可以互相转化。这样判定两个结是否等价就容易多了，因为多项式化简大家都会的，这要比直接看图形方便多了。所以这是第一个重大突破。亚历山大本人也对很多扭结进行了分类，给出了一个列表。

1970年代，英国数学家，约翰·康威（John H. Conway, 1937年12月26日－2020年4月11日）又独立发明了一种“亚历山大多项式”的变体和另一种表示法。康威表示法的一个优点是书写简单。

扭结理论的再一次重大突破，是在1984年。新西兰数学家沃恩·琼斯（Vaughan Jones，1952年12月31日－2020年9月6日），发现了另一个扭结不变量，现在成为“琼斯多项式”。这个多项式在区分和表达扭结的能力上比“亚历山大多项”式强许多。

3       扭结理论与菲尔茨奖

在琼斯发表了琼斯多项式之后不久，美国物理学家爱德华·威腾（Edward Witten，）发现了琼斯多项式与量子场论之间有着奇妙的联系。爱德华·威腾是弦理论和量子场论的顶尖专家，并且是“M理论”的创立者。而M理论是目前一种比较有希望的“大统一理论”。

爱德华·威腾发现琼斯多项式可以运用到量子场论里，这个发现是如此让人遐想连篇：难道宇宙的微观结构中存在一个个扭结？

不管怎样，琼斯和威腾的发现也是如此重要，使得二人双双在1990年，获得了数学界的最高荣誉之一：菲尔兹奖。那次菲尔茨奖有两个不寻常之处，一个是威腾是目前仅有的以物理学家身份获得菲尔兹奖的人。琼斯则被认为是以最短的论文，获得菲尔兹奖的人。琼斯的关于琼斯多项式的论文一共就8页，而且其中有4页是一些扭结的多项式数据表格和引用之类。论文实际内容也就4页。仅凭4页的论文获得菲尔兹奖也是绝无仅有的例子。

4       对于扭结理论和上课内容的感想

在第一节课中，我们在薛老师的生动讲解之下，接触了拓扑学的一些应用并且简单的了解其背景和发展，包括一笔画问题、格尼斯堡七桥问题等。通过这些示例，我们了解了拓扑学在实际生活中的用处。对于较为抽象的学科，通过比较具体的例子可以让我们更加快速的学习，同时让我们对抽象的概念获得更加具体化的感觉，对于培养数学直觉、更加深入理解数学概念具有很大的帮助。但是在第一节课的学习中，从我个人来看，还是没有建立一个较为完整较为正式的概念。

我在查询扭结理论的相关资料的时候发现，扭结理论里面很重要的一个概念就是“不变量”。虽然我对于“不变量”不能完全看懂，但是感觉和课上讲解“一笔画问题”时的结构变形具有一定相似之处。虽然有的几何结构不完全相同，但是从“一笔画问题”的角度来讲，他们是不变的，或者说没有区别的。